พีชคณิตนามธรรม

พีชคณิตนามธรรม (อังกฤษ: abstract algebra) คือสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับโครงสร้างเชิงพีชคณิต เช่น กรุป, ริง และฟิลด์. คำว่า "พีชคณิตนามธรรม" ถูกใช้เพื่อแยกแยะสาขาออกจาก พีชคณิตพื้นฐาน หรือ "พีชคณิตในโรงเรียน" ที่สอนเกี่ยวกับกฎสำหรับการจัดการสูตรและนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อน

ประวัติและตัวอย่าง

เท่าที่ผ่านมาในอดีต โครงสร้างเชิงพีชคณิต มักปรากฏขึ้นพบในสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ จากนั้นจะถูกระบุในรูปแบบที่ใช้สัจพจน์ และสุดท้ายจึงกลายเป็นวัตถุที่ถูกนำมาศึกษาในพีชคณิตนามธรรม ด้วยสาเหตุนี้ พีชคณิตนามธรรมจึงมีความเชื่อมโยงอย่างสำคัญกับสาขาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์อย่างมากมาย และเป็นวิชาที่ยากมาก

ตัวอย่างของโครงสร้างเชิงพีชคณิตที่มีตัวดำเนินการทวิภาคแค่ตัวเดียว เช่น

• แมกมา,
• ควอไซกรุป,
• โมนอยด์, เซมิกรุป และ ที่สำคัญที่สุดคือ กรุป.

ตัวอย่างที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น เช่น

• ริง และ ฟิลด์
• มอดูล และ ปริภูมิเวกเตอร์
• พีชคณิตการเปลี่ยนหมู่ และ พีชคณิตแบบลี (Lie algebra)
• แลตทิซ และ พีชคณิตแบบบูล